Ingeniería de Procesos: TRANSFORMADA DE LAPLACE

INTRODUCCIÓN

El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.

En los sistemas de regulación automáticos resulta fundamental conocer la respuesta ante una determinada entrada.

Suele ser difícil obtener una relación que permita conocer como va a responder el sistema en función del tiempo ante una entrada determinada, y cuando se conocen estas relaciones, en los regímenes transitorios las relaciones algebraicas (ecuaciones diferenciales) suelen presentar un cálculo muy dificultoso.

Una de esas herramientas consiste en reemplazar funciones de una variable real (tiempo, distancia,..) por otras funciones que dependen de una variable compleja, simplificando ostensiblemente los cálculos. Las operaciones como la integración y la diferenciación se sustituyen por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Una vez conocido el comportamiento del sistema en el dominio complejo, se puede regresar al dominio del tiempo y de esta manera establecer cuál va a ser la respuesta ante cualquier situación.

Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

La Transformada de Laplace consiste en multiplicar por

cada término de la ᴇᴄᴜᴀᴄɪóɴ ᴅɪғᴇʀᴇɴᴄɪᴀʟ, y continuamente integrarlos en función del tiempo en el intervalo ᴄᴇʀᴏ hasta ɪɴғɪɴɪᴛᴏ.

En instrumentación, la ventaja de trabajar con las transformaciones de Laplace es que existen tablas de conversión muy extensas que cubren prácticamente la totalidad de sus funciones que puedan surgir al analizar los sistemas controlados.

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control

Propiedades de la Transformada de Laplace

Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones:

Funciones continuas a trozos
Decimos que una función f:[a,b] →ʀ es continua a trozos si:

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos x(k)implica que las únicas discontinuidades de f son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continua o que no son demasiado discontinua.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo

TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL

Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales

TEOREMA DE VALOR FINAL

Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta

Sea f(t) una función seccionalmente continúa en el intervalo (0, ∞) y cuya transformada f(t) existe. Entonces podemos conocer su condición inicial en t = 0 mediante la propiedad: