PRINCIPIOS DE LA OPTIMIZACION

 TECNICAS DE OPTIMIZACIÓN

OPTIMIZACIÓN DE UNA VARIABLE

MÉTODO DE LA SECCIÓN DORADA

Uno de los principales campos de la programación no lineal es el de la optimización no restringida u optimización libre, que trata el problema de minimizar o maximizar una función en ausencia de cualquier restricción. 

•   La idea de los métodos de búsqueda es identificar el intervalo de incertidumbre que comprenda al punto de solución óptima. El procedimiento localiza el óptimo estrechando en forma progresiva el intervalo de incertidumbre hasta cualquier grado de exactitud que se desee.

Uno de los métodos más efectivos para optimizar problemas de una varibale es el conocido como Seccion dorada o Seccion Áurea.

Este método también requiere que la función sea de una sola variable y unimodal que sea estrictamente cuasi-convexa. Si el rango de incertidumbre original es:
 a < x < b. el proceso reduce este intervalo en cada evaluación, en un valor constante T (representa la letra griega tao).

1. El método se basa en la colocación de puntos de búsquedas simétricos de tal manera que en cada iteración, el punto que se conserva sirve como base para la selección del nuevo punto, el cual  a su vez  debe conservar  la simetría original, pero acotando la solución óptima dentro de un intervalo de búsqueda menor
2. Este método busca la maximización de una función unimodal f(x) en el intervalo:
3. a ≤ x ≤ b, que se sabe que incluye el punto óptimo x*.

Paso general i. Sea Li-1= (XL, XR) el intervalo actual de incertidumbre (en la iteración 0,  XL = X1 y XR = X2). 

Búsqueda de la sección Dorada

Ejemplo .

 Determine el máximo valor de la siguiente función, suponga que ∆ = 0.3. en el intervalo  que va de (-1,0.5) :

   Maximizar  f(x) =   - X² – 1

Iteración 3:

A  = -0.427

B  = 0.1458

X1 = (0.1458) – (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = - 0.2081 

X2 = (-0.427) + (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = - 0.0730

F(X1) = -(-0.2081)² - 1 = -1.0433

F(X2) = -(-0.0730)² - 1 = -1.0053

F(X1) <F(X2), entonces, se define  A = X1

Nuevo Rango (Ii) = (-0.2081, 0.1458)

Cálculo de error:

  

E= 0.23599

Se cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.23<0.3en la 3 iteración.

OTROS METODOS DE OPTIMIZACION

OPTIMIZACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES

METODOS DIRECTOS

Para la aplicación de estos métodos solamente es necesario conocer el valor de la función objetivo en cualquier punto de espacio y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la diferenciabilidad de la función.

METODOS INDIRECTOS

Los métodos indirectos hacen uso de derivadas en la determinación de las direcciones de búsqueda. Una buena dirección de búsqueda debería reducir la función objetivo, entonces si Xo  es el punto inicial y Xi es el nuevo punto: f(Xi) < f(Xo).  

El Método de Diferencias Finitas

• El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.
• Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.
• El valor de los puntos seleccionados se convierte en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.

Flujo Estable

Para mostrar este método vamos a considerar el caso de flujo bi-dimensional de un fluido en un acuífero homogéneo, isotrópico confinado, sin fuentes o sumideros. Para este, el flujo es descrito por la ecuación de Laplace:

Esta ecuación debe ser satisfecha en todos los puntos del dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el nivel del agua, h, debe satisfacer ciertas condiciones de frontera. Vamos a asumir que las condiciones de frontera son:

Una retícula de cuadrados es trazada sobre la región R. El valor de la variable h en un punto nodal de la retícula, o nodo, es expresada como hij, donde i indica la posición de una línea vertical de la retícula (la columna), y j la línea horizontal de la retícula (el renglón).

Método Fibonacci

 El método de búsqueda de Fibonacci es utilizado para obtener un punto óptimo en funciones no diferenciables sin utilizar derivadas es decir, que no sean derivables en el intervalo.

El sistema Fibonacci, conocido también como serie o sucesión Fibonacci, es una sucesión de números naturales infinita, que no acaba nunca. La serie empieza con los números 1 y 1, y después los siguientes números que van apareciendo en la sucesión son el resultado de la suma de los dos anteriores.

Por lo tanto, en la serie Fibonacci lo siguiente sería un 2, y luego un 3, y después un 5, y así. En general esta sucesión quedaría de la siguiente manera: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…. y más hasta el infinito, ya que como hemos dicho esta serie nunca se acaba.

Cómo dato de interés, el sistema Fibonacci surgió en Europa y fue descrito por Leonardo de Pisa, un matemático italiano del siglo XIII, que llamó a este sistema los números de Fibonacci. Aunque, como suele pasar, se dice que ya se conocía esta sucesión de números en la India, mucho antes de darse a conocer en occidente.

. ¿Cómo poner en práctica el método Fibonacci?

En las operaciones binarias el sistema Fibonacci se utiliza para medir el porcentaje de retroceso de la tendencia que nos interesa.

Utilizando esta serie podremos saber cuánto puede retroceder la tendencia en un plazo de tiempo determinado y saber determinar con mucha más certeza su dirección correcta, para operar con más éxito.