TECNICAS DE OPTIMIZACIÓN
OPTIMIZACIÓN DE UNA VARIABLE
MÉTODO DE LA SECCIÓN DORADA
Uno de los principales campos de la
programación no lineal es el de la optimización no restringida u optimización
libre, que trata el problema de minimizar o maximizar una función en ausencia
de cualquier restricción.
- La idea de los métodos de búsqueda es identificar el intervalo de incertidumbre que comprenda al punto de solución óptima. El procedimiento localiza el óptimo estrechando en forma progresiva el intervalo de incertidumbre hasta cualquier grado de exactitud que se desee.
Uno
de los métodos más efectivos para optimizar problemas de una varibale es el
conocido como Seccion dorada o Seccion Áurea.
Este método también requiere que la función sea de una sola
variable y unimodal que sea estrictamente cuasi-convexa. Si el rango de
incertidumbre original es:
a < x < b. el proceso reduce este intervalo en cada evaluación, en un valor constante T (representa la letra griega tao).
a < x < b. el proceso reduce este intervalo en cada evaluación, en un valor constante T (representa la letra griega tao).
- El método se basa en la colocación de puntos de búsquedas simétricos de tal manera que en cada iteración, el punto que se conserva sirve como base para la selección del nuevo punto, el cual a su vez debe conservar la simetría original, pero acotando la solución óptima dentro de un intervalo de búsqueda menor
- Este método busca la maximización de una función unimodal f(x) en el intervalo:
- a ≤ x ≤ b, que se sabe que incluye el punto óptimo x*.
Paso general i. Sea Li-1=
(XL, XR) el intervalo actual de incertidumbre (en la iteración 0, XL = X1 y XR = X2).
Búsqueda de la sección Dorada
Ejemplo .
Iteración 3:
X1 = (0.1458) – (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = -
0.2081
F(X1) <F(X2), entonces, se
define A = X1
Cálculo de error:
E= 0.23599
Se
cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.23<0.3en la 3 iteración.
OTROS METODOS DE
OPTIMIZACION
El Método de Diferencias Finitas
- El Método consiste en una aproximación de las
derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable
dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.
- Como resultado de la aproximación, la ecuación
diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito
de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable
dependiente en puntos seleccionados.
- El valor de los puntos seleccionados se convierte en
las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede
llevar un número largo de operaciones aritméticas.
Iteración 3:
A = -0.427
B = 0.1458
X1 = (0.1458) – (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = -
0.2081
X2 = (-0.427) + (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = - 0.0730
F(X1) = -(-0.2081)² - 1 = -1.0433
F(X2) = -(-0.0730)² - 1 = -1.0053
F(X1) <F(X2), entonces, se
define A = X1
Nuevo Rango (Ii) = (-0.2081, 0.1458)
Cálculo de error:
E= 0.23599
Se
cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.23<0.3en la 3 iteración.
El Método de Diferencias Finitas
- El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.
- Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.
- El valor de los puntos seleccionados se convierte en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.
Flujo Estable
Para mostrar este método vamos a considerar el caso de
flujo bi-dimensional de un fluido en un acuífero homogéneo, isotrópico
confinado, sin fuentes o sumideros. Para este, el flujo es descrito por la
ecuación de Laplace:
Esta ecuación debe ser satisfecha en todos los puntos
del dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el nivel del agua,
h, debe satisfacer ciertas condiciones de frontera. Vamos a asumir que las
condiciones de frontera son:
Una retícula de cuadrados es trazada sobre la región R. El valor de la variable h en un punto nodal de la retícula, o
nodo, es expresada como hij, donde i indica la posición de una línea vertical
de la retícula (la columna), y j la línea horizontal de la retícula (el
renglón).
Método Fibonacci
El
método de búsqueda de Fibonacci es utilizado para obtener un punto óptimo en
funciones no diferenciables sin utilizar derivadas es decir, que no sean
derivables en el intervalo.
El sistema Fibonacci,
conocido también como serie o sucesión Fibonacci, es una sucesión de números
naturales infinita, que no acaba nunca. La serie empieza con los números 1 y 1,
y después los siguientes números que van apareciendo en la sucesión son el resultado
de la suma de los dos anteriores.
Por lo
tanto, en la serie Fibonacci lo siguiente sería un 2, y luego un 3, y después
un 5, y así. En general esta sucesión quedaría de la siguiente manera: 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…. y más hasta el infinito, ya que como hemos dicho
esta serie nunca se acaba.
Cómo dato
de interés, el sistema Fibonacci surgió en Europa y fue descrito por Leonardo de Pisa, un matemático italiano del siglo
XIII, que llamó a este sistema los números de Fibonacci. Aunque, como suele
pasar, se dice que ya se conocía esta sucesión de números en la India, mucho
antes de darse a conocer en occidente.
. ¿Cómo poner en
práctica el método Fibonacci?
En las operaciones
binarias el sistema Fibonacci se utiliza para medir el porcentaje de retroceso
de la tendencia que nos interesa.
Utilizando
esta serie podremos saber cuánto puede retroceder la tendencia en un plazo de
tiempo determinado y saber determinar con mucha más certeza su dirección
correcta, para operar con más éxito.
