INTRODUCCIÓN
El
campo de aplicación de los sistemas de control
es muy amplia.
En los sistemas de regulación automáticos
resulta fundamental conocer la respuesta ante una determinada entrada.
Suele ser difícil obtener una relación que
permita conocer como va a responder el sistema en función del tiempo ante una
entrada determinada, y cuando se conocen estas relaciones, en los regímenes
transitorios las relaciones algebraicas (ecuaciones diferenciales) suelen
presentar un cálculo muy dificultoso.
Una de esas herramientas consiste en
reemplazar funciones de una variable real (tiempo, distancia,..) por otras
funciones que dependen de una variable compleja, simplificando ostensiblemente
los cálculos. Las operaciones como la integración y la diferenciación se
sustituyen por operaciones algebraicas en el plano complejo.
Una vez conocido el comportamiento del
sistema en el dominio complejo, se puede regresar al dominio del tiempo y de
esta manera establecer cuál va a ser la respuesta ante cualquier situación.
Y
una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
La Transformada de Laplace consiste en multiplicar por
cada término de la ᴇᴄᴜᴀᴄɪóɴ ᴅɪғᴇʀᴇɴᴄɪᴀʟ, y continuamente integrarlos en función del tiempo en el intervalo ᴄᴇʀᴏ hasta ɪɴғɪɴɪᴛᴏ.
En instrumentación, la ventaja de trabajar con las transformaciones de Laplace es que existen tablas de conversión muy extensas que cubren prácticamente la totalidad de sus funciones que puedan surgir al analizar los sistemas controlados.
Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más
utilizados en al ámbito de control
Propiedades de la Transformada de Laplace
Funciones continuas a trozos
Decimos que una función f:[a,b] →ʀ es continua a trozos si:
En general, el requisito de que estos límites sean finitos
en todos los puntos x(k)implica que las únicas
discontinuidades de f son
discontinuidades de salto, del tipo que aparecen
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.
TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en
el tiempo
TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones
diferenciales
TEOREMA DE VALOR FINAL
Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta
Sea f(t) una función seccionalmente continúa en el
intervalo (0, ∞) y cuya
transformada f(t) existe. Entonces podemos conocer su condición
inicial en t = 0 mediante la propiedad:
TEOREMA DE VALOR INICIAL
Nos indica las condiciones iniciales.
Sea una f(t) función seccionalmente continúa en el
intervalo (0, ∞) con transformada f(t). Entonces podemos conocer f (∞)
por la relación:
BIBLIOGRAFÍA:
- https://previa.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/laplace.pdf
- http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
- http://euler.us.es/~renato/clases/mm2/laplace.pdf
- http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm
- https://es.slideshare.net/chelo1228/transformada-de-laplace-5076296
- http://150.185.9.18/fondo_editorial/images/PDF/CUPUL/SISTEMA%20DE%20CONTROL%20%201.pdf
- https://books.google.com.ec/books?id=xmMWBQAAQBAJ&pg=PA17&lpg=PA17&dq=instrumentacion+industrial+laplace&source=bl&ots=nLIASHfFlI&sig=hnhiZGZY0l0dSop48l2SowWswtk&hl=es-419&sa=X&ved=0ahUKEwjr-qfloNPYAhUxRN8KHXYiDwMQ6AEISzAH#v=onepage&q=instrumentacion%20industrial%20laplace&f=false
- http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//4750/4927/html/1_transformada_de_laplace.html
